Лагранжев формализм. Обобщённые координаты. Часть 1

Здрасти, дорогие товарищи! Перед вами 5-й выпуск из цикла «диамат, истмат и физмат». Сегодня, пожалуй, будет преобладать 3-я составляющая. И пожалуй, мне следует заранее извиниться перед лириками, что физики, быть может, будет много, а перед физиками – что изложена она будет чресчур вольно. И всё же… В современные т. н. «пользующиеся популярностью» издания из теоретической физики просачиваются, как правило, исключительно вульгарные интерпретации её положений, не приближающие читателя или зрителя к их осознанию, а создающие у него лишь некую иллюзию причастности к науке.

А меж тем нам следует научиться адекватно относиться к сенсационным заявлениям вроде того, что британские учёные открыли во Вселенной и уже вовсю изучат 21-е измерение (мы-то с вами тут и 4 измерения толком представить не можем!). Великодушное требование честности и неподкупности науки в буржуазном обществе невыполнимо. Как и всё остальное при капитализме, наука продаётся и покупается. Наука совместно с культурой, искусством и другими элементами идеологической надстройки, включая такие обскурантистские, как религия и оккультизм, активно используется правящим классом для «запудривания» мозгов. И чтобы не быть сбитыми с толку показным наукообразием, нам следует самим на доступном широкому кругу трудящихся уровне разбираться в науке, имеющей не только лишь прикладное, но и важное мировоззренческое значение. Так что добро пожаловать в теоретическую физику!

1. Работа

Когда в итоге действия силы на тело оно приходит в движение, некоторая потенциальная энергия «источника силы» преобразуется в кинетическую энергию, эта последняя может быть отчасти или полностью рассеяна (то есть, преобразована в тепло).

Величина преобразованной энергии «источника силы» именуется работой силы. Очевидно, что работа имеет размерность энергии, то есть может быть измерена в тех же единицах, что энергия, к примеру, в джоулях. Работа A в простейшем случае постоянной силы F, действующей на прямом пути l в том же направлении, в котором движется тело, равна произведению силы и пути:

A = Fl (5.1)

(тут и далее первое число в нумерации формул будет означать номер выпуска наших бесед, где эта формула показалась).

В случае переменной силы, работа равна интегралу силы по пути:

A = ∫F(l)dl (5.1а)

2. 1-ая идея Лагранжева формализма (обобщённые координаты)

Первая замечательная мысль лагранжева формализма (то есть, восходящего к Ж. Л. Лагранжу формально-аналитического метода решения физических задач) – обобщение уравнения (5.1).

Толк обобщения таков: аналогичное уравнение можно составить, если за место пути l выбрать какую-нибудь другую величину – «обобщённую координату» q, характеризующую «пространственную протяжённость» (к примеру, площадь, объём или угол поворота, а также, например, массу, электро заряд и даже энтропию, перетекающие «с одного уровня на другой»), а за место силы F – «обобщённую силу» Q, величину, имеющую характер напряжённости, такую, чтобы произведение обобщённой силы и приращения соответственной обобщённой координаты выражало работу:

A = ∫Q(q)dq (5.1б)

Размерность работы в любом случае, независимо от размерностей обобщённой силы и обобщённой координаты схожа.

Для примера приведём несколько простых, но разнообразных случаев, когда работа (может означать: Работа — функционирование какой-либо системы — механизма, биоценоза, организма или общности, — а также её части) выражается буквально через обобщённую силы и приращение соответствующей обобщённой координаты. Простота примеров в том, что относятся они к «одномерным» случаям, поточнее, системам с 1 степенью свободы, то есть, системам, описываемым функцией одной переменной, одной обобщённой координаты:

1. A = ∫F(l)dl
2. A = ∫σ(S)dS
3. A = ∫M(φ)dφ
4. A = ∫P(V)dV
5. A = ∫mg(h)dh
6. A = ∫U(q)dq
7. A = ∫T(S)dS

А если, за исключением того, обобщённая сила постоянна, то формулы становятся совсем ординарными, работа выражается простым произведением силы и координаты вместо интеграла силы по координате:

1. A = Fl l (сила х путь)
2. A = σS (коэфф. пов. натяжения х площадь)
3. A = Mφ (момент силы х угол поворота)
4. A = PV (объём, перетекающий по трубе)
5. A = (gh)m (масса в возможном поле)
6. A = Uq (разность потенциалов х перетекающий заряд)
7. A = TS (разность температур х перетекающая энтропия)

В 1-м примере (Пример (риторика) — понятие в риторике, частный случай, применяемый для объяснения общего) обобщённой координатой является длина пути, но пути повдоль произвольной траектории, а обобщённой силой – проекция силы на траекторию. Такая «обобщённая координата» естественным образом использовалась ещё «на уровне первоначальной школы» , только не при вычислении работы по силе и пути, а при вычислении пути по скорости и времени движения путешественника по заданной траектории, по некой тропинке.

В последних четырёх примерах обобщённую силу можно интерпретировать как «разность потенциалов» (разность давлений, потенциалов поля тяжести, потенциалов электро поля или температур) и работа совершается в результате «перетекания» с верхнего потенциала на нижний чего-то, характеризуемого соответственной обобщённой координатой (объёмом, массой, электрическим зарядом, энтропией). Кстати, в бессмертном трактате Карно «о движущей силе огня…» теплород, перетекающий из 1-го резервуара в другой – и есть та самая энтропия.

Уже эти простые примеры очень ценны. Во всех этих примерах, как и в случае обычной силы, в итоге действия обобщённой силы на обобщённую координату происходит преобразование возможной энергии «источника силы» в другие формы.

Этого не происходит, если невзирая на наличие обобщённой силы (или разности потенциалов, не равной нулю) обобщённая координата не изменяется (то есть, её приращение равно нулю) вследствие наличия потенциального барьера.

Произнесенное можно проиллюстрировать геометрически. Величина работы численно равна площади под графиком Q(q). В случае неизменной силы это просто площадь прямоугольника.

Определённый интеграл функции одной переменной по формуле Ньютона-Лейбница равен разности (многозначный термин: результат вычитания) значений первообразной в конечной и первоначальной точках. Минус первообразная обобщённой силы (физическая векторная величина, являющаяся мерой воздействия на данное тело со стороны других тел или полей) по обобщённой координате в данных одномерных случаях – это ни что другое, как потенциальная энергия.

Потенциальный барьер в этом случае наглядно изображается подъёмом видеографика потенциальной энергии выше начальной точки «А» (мы предполагаем, что кинетическая энергия в данной точке равна нулю)

При этом, как было сказано, преобразование энергии не идёт. Но мы можем за место барьера поставить, так сказать, «канал сопряжения» (то есть, устроить так, чтобы приращение обобщённой координаты пошло по некому «каналу» и преобразование потенциальной энергии источника было сопряжено не с бесполезным рассеянием, а с совершением полезной работы). Мы можем вынудить массу воды при падении с высоты, то есть, при преодолении разности потенциалов силы тяжести крутить турбины электростанции или можем вынудить энтропию, перетекающую из камеры сгорания в окружающую среду, крутить движок автомобиля. Да и сама природа жизни заставляет потенциальную энергию (скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие), содержащуюся в белках, жирах и углеводах еды, прежде, чем они окислятся до углекислого газа и воды, совершить разнообразную полезную для организма работу.

А ещё мы можем провести процесс в оборотном направлении (против обобщённой силы), (тем самым накачав систему возможной энергией) затратив на это (за вычетом потерь) столько же энергии, сколько выделяется при протекании процесса в прямом направлении. К примеру, мы можем перекачать электрический заряд против разности электрических потенциалов, заряжая аккумулятор или перекачать энтропию от прохладного тела к тёплому, увеличив тем самым разность температур между холодильной камерой и окружающей средой.

3. Выход в остальные измерения

Напомню, что пока мы рассматривали «одномерные» случаи. В «одномерном» случае, то есть, при наличии у рассматриваемой физ системы лишь 1 степени свободы, форма пути между 2 точками фиксирована, дифференциал функции одной переменной, если можно так выразиться, постоянно полный, значит, элементарная работа

δA = F(x)dx

– полный дифференциал, поэтому в одномерном случае суммарную работу на пути (место, направление или сам процесс перемещения (или изменения); вплоть до научных абстракций этого понятия: Путь — система сообщения, по которому осуществляется проход или проезд, по которому) из точки А в точку Б постоянно можно вычислить по формуле (5.1б)

A=∫Q(q)dq (5.1б)

Теперь вспомним, что мы живём в трёхмерном физическом пространстве. В нём одна вещественная точка имеет три степени свободы, то есть, положение её описывается 3-мя координатами и обычная механическая сила, действующая на неё – величина векторная, имеющая три составляющие. Работа силы в трёхмерном пространстве подобно тому, как это было в одномерном случае (в древнегреческой философии Случай в страховании Случай в финансах Случай в гражданском праве Случай в уголовном праве Случай — название ряда фильмов), может быть вычислена по значениям первообразной от силы в 2 точках А и Б тогда и только лишь тогда, когда работа на пути от точки А до точки Б полностью определяется 2 точками – точками начала и конца пути и не зависит от формы пути.

A = ∫d(-E_пот) = E_пот_1 — E_пот_2

Это бывает в том случае, когда простая работа

δA = Fx(x, y, z)dx + Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz (5.2)

является полным дифференциалом некой функции, иначе говоря, когда сила является градиентом некоторой скалярной функции (силовой функции, или минус потенциальной энергии U = -E_пот:

δA = ∂U/∂x(x, y, z)dx + ∂U/∂y(x, y, z)dy + ∂U/∂z(x, y, z)dz = ∇U (5.2а)

В этом случае все составляющие вектора силы F (а их в трёхмерном пространстве 3) в каждой точке определяются лишь 1 скалярной функцией, возможной энергией E_пот. Такие силы называют потенциальными, таковыми являются, к примеру, сила тяжести, сила упругости… Когда такой кунштюк сведения вектора к скаляру вероятен, вычисление работы сводится к вычислению разности потенциалов. О том, когда таковой кунштюк возможен, мы поговорим в беседе, посвящённой математической теории поля. Там мы подробнее разберём и упомянутые понятия «полнейший дифференциал» и «градиент». А сейчас мы убедимся, что рассматриваемый метод обобщённых координат и обобщённых сил очень полезен вовсе не только в таких особых случаях. Вначале найдём универсальное выражение для обобщённой силы.

4. Выражение обобщенной силы

Разглядим некоторую обобщённую силу Qi. Пока представим, что это просто одна из элемент вектора обычной силы, компонента вдоль координаты qi, причём qi – это просто напросто одна из декартовых координат (x, y или z). Если рассматриваемая сила Qi потенциальна, то она по определению равна минус производной возможной энергии по координате:

A = ∂U/∂qi = — ∂E_пот/∂q_i (5.3)

Если в системе нет трения, то сила вызывает изменение кинетической энергии:

Qi = d/dt(mv) = d/dt(∂mv^2)/2∂v = d/dt (∂E_кин/∂q`_i ) (5.4)

«Ку с точкой» q` значит, как принято, обобщённую скорость, то есть, производную обобщённой координаты qi по времени.

Если выполнены обозначенные условия (потенциальность силы и отсутствие трения), то из двух предыдущих уравнений мы получим это:

d/dt (∂E_кин/∂q`_i) — (∂E_пот/∂q_i) = 0 (5.5)

Если же на нашу систему действуют ещё какие-то наружные (активные) силы, то уравнение (5.5) становится неоднородным, то есть, в нём возникает не равная нулю правая часть:

d/dt (∂E_кин/∂q`_i) — (∂E_пот/∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.5а)

Мы вправе написать уравнение не относительно 2-ух разных величин E_пот и E_кин, а относительно их разности

E_пот — Е_кин ≝ L (5.6, функция Лагранжа)

которая именуется кинетическим потенциалом, функцией Лагранжа или лагранжианом L:

d/dt (∂L/∂q`_i) — (∂L/∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.7, уравнение Лагранжа)

Дело в том, что если мы напишем уравнение Лагранжа так:

d/dt (∂(E_пот — E_кин )/(∂(q`_i ))-∂(E_пот — E_кин )/(∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.7а)

и применим правило «дифференциал разности равен разности дифференциалов», получим вот что:

d/dt (∂E_пот/∂q`_i — ∂E_кин/∂q`_i) — (∂E_пот/∂q_i — ∂E_кин/∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.7б)

Обычно E_кин заисит только лишь от скоростей q`i, но не координат qi, а E_пот – наоборот, зависит только от координат (координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов) qi, но не скоростей q`i. Потому в первой скобке исчезает первое слагаемое, во второй – второе и мы получаем уравнение (5.5а). Но в случае обобщённых координат в общем случае никакое слагаемое не должно быть равным нулю, поэтому уравнение Лагранжа (5.7) более универсально, чем уравнение (равенство вида f ( x 1 , x 2 … ) = g ( x 1 , x 2 … ) {displaystyle fleft(x_{1},x_{2}dots right)=gleft(x_{1},x_{2}dots right)} ,где чаще всего в качестве f , g {displaystyle f,g} выступают) (5.5а). В последующей беседе мы удивимся, насколько оно универсально. Собственно, только что приведённые рассуждения – это совсем не вывод уравнения Лагранжа, а лишь вспомогательные рассуждения, помогающие осознать, «что к чему», а в следующей беседе мы подойдём к этому уравнению с другой стороны.

А сейчас напишем такое же по виду, как (5.7) уравнение, но уже относительно кинетической энергии E_кин:

d/dt (∂E_кин/∂q`_i) — ∂E_кин/∂q_i = Qi_внеш (5.8)

тут Qi_внеш – уже суммарная, потенциальная и непотенциальная обобщённая сила, действующая на систему извне и вызывающая изменение параметра qi, так именуемая «активная» («внешняя») сила. Это уравнение нам в этой беседе ещё понадобится.

___

Дорогие товарищи, давайте сделаем небольшой перерыв. Текст самой увлекательной, второй части пятого выпуска будет скоро опубликован. А Video Вы можете посмотреть уже сегодня: